Загальна фізика. Частина 2. Магнетизм. Коливання і хвилі. Оптика. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла. Фізика ядра та елементарних часток

Якщо ω1 і ω2 близькі, то результуюча частота  , і амплітуда результуючого коливання повільно і періодично змінюється. Це явище називається биттям.

 

 

Нехай точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти:

  (5.19)

 , (5.20)

де А і В, α і β – відповідно амплітуди і початкові фази першого і другого коливань.

Встановимо рівняння траєкторії точки, виключивши із (5.19) і (5.20) час  . Для цього перепишемо (5.19) і (5.20) у вигляді

 , (5.21)

 . (5.22)

Помноживши (5.21) на cos β і (5.22) на cos α та взявши різницю між отриманими рівняннями, одержимо

 . (5.23)

Помноживши (5.21) на sin β і (5.22) на sin α та взявши їх різницю, одержимо

 . (5.24)

Складаючи квадрати рівнянь (5.23) і (5.24), знайдемо рівняння траєкторії

 . (5.25)

Рівняння (5.25) являє собою рівняння еліпса, характеристики якого визначаються значенням різниці початкових фаз (β – α).

 

Розглянемо частинні випадки:

1) Нехай   де  ; тоді   а   і рівняння (5.25) матиме вигляд

  або .

Ми отримали рівняння прямої

 

яка проходить через початок координат і утворює з віссю ОХ кут, тангенс якого рівний  . Таким чином, результуюче коливання залишається лінійним.

2) Нехай  ; тоді  . І траєкторією результуючого коливання буде еліпс, який описується рівнянням

 . (5.26)

При А = В (5.26) переходить у коло. При проміжних значеннях (β – α) одержуються еліпси з різною орієнтацією своїх осей відносно осей координат.

Якщо взаємно перпендикулярні коливання відбуваються з різними частотами, то результуючі траєкторії мають більш складний вигляд; ці траєкторії називаються фігурами Ліссажу. 

 

Реальні коливання відбуваються в умовах дії сил тертя (опору). І тому реальні коливні системи є дисипативними, в яких механічна енергія частково втрачається, що призводить до поступового зменшення амплітуди, тобто до згасання коливань. Для спрощення обмежимось випадком лінійного коливання матеріальної точки у в’язкому середовищі. Якщо швидкість коливного руху невелика, то сила опору пропорційна до швидкості і напрямлена проти швидкості, тобто

 ,

де r – коефіцієнт опору.

Тоді за другим законом Ньютона

 . (5.27)

Розділивши рівність (5.27) на m, отримаємо

  . (5.28)

Введемо позначення

 .

Рівняння (5.28) матиме вигляд диференціального рівняння згасаючих коливань:

 . (5.29)

Підстановкою 

  (5.30)

приведемо рівняння (5.29) до простішого вигляду (тут е – основа натурального логарифму). Заміну змінних у (5.29) проведемо за допомогою рівнянь

  (5.31)

Підставляючи (5.30) і (5.31) у (5.29), отримаємо

 

або

 . (5.32)

У випадку, коли  , можна ввести заміну   Тоді рівняння (5.32) прийме вигляд

  (5.33)

розв’язком якого є

 . (5.34)

У випадку, коли  , рух матеріальної точки буде неперіодичним (аперіодичним).

Підставляючи (5.34) у (5.30), одержимо рівняння руху коливної точки під дією квазіпружної сили та сили опору, тобто рівняння згасаючих коливань:

 . (5.35)

З (5.35) видно, що амплітуда коливань зменшується з часом за експоненціальним законом (рис. 5.6):

 . (5.36)

Фізично β характеризує швидкість зменшення амплітуди і називається коефіцієнтом згасання. Можна показати, що β чисельно дорівнює оберненій величині часу релаксації τ, протягом якого амплітуда зменшується в е раз. Дійсно, якщо  , то із (5.36) слідує, що

  .

Звідси

 .

Зручно користуватись поняттям логарифмічного декременту згасання λ, як натурального логарифму відношення двох послідовних амплітуд (через період Т):

 .

 

 

Для того, щоб в реальній коливній системі забезпечити незгасаючі коливання, необхідно постійно до неї підводити енергію ззовні. І тому розглянемо коливання матеріальної точки, на яку, крім квазіпружної сили   і сили опору  , діє додаткова періодична вимушуюча сила

 ,

де  – вимушуюча частота.

Тоді за другим законом Ньютона маємо

 . (5.37)

Перепишемо рівняння (5.37) у вигляді

 

або

 , (5.38)

де  .

Розв’язок рівняння (5.38) будемо шукати як суму розвязку однорідного рівняння (5.29) і часткового розв’язку неоднорідного рівняння:  . Для віддалених моментів часу  . І тому

 . (5.39)

Отже, вимушені коливання здійснюються з вимушуючою частотою ω. Для знаходження амплітуди А і початкової фази α продиференціюємо двічі (5.39):

  (5.40)

Підставляючи (5.39) і (5.40) у (5.38), отримаємо:

 

а розкриваючи тригонометричні функції від складного аргументу:

  (5.41)

Щоб рівняння (5.41) перетворилося в тотожність, потрібно, щоб суми коефіцієнтів при cos ωt в обох частинах рівності були рівні і суми коефіцієнтів при sin ωt в обох частинах були також рівні. Це означає, що

 , (5.42)

 . (5.43)

Із рівняння (5.43) отримаємо вираз для початкової фази вимушених коливань:

 . (5.44)

Підносячи до