Загальна фізика. Частина 2. Магнетизм. Коливання і хвилі. Оптика. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла. Фізика ядра та елементарних часток

Відмітимо, що довжини хвиль де Бройля макроскопічних тіл, за рахунок великої маси, настільки малі, що їх хвильові властивості виявити неможливо.

7.2.2. Корпускулярно-хвильовий дуалізм частинок в мікросвіті накладає обмеження на можливості класичного опису їх стану. В класичній механіці стан частинки задається сукупністю точно заданих координат (x,y,z) та проекцій вектора імпульсу (рх, рy, рz). Якщо задані сили, що діють на частинку, то можна, користуючись законами класичної механіки, передбачити її стан в довільний момент часу – класичний принцип причинності. Для частинки, що рухається вздовж осі х, це означає, що неточності (невизначеності) координати   та імпульсу  рівні нулю і добуток  .

Абсолютно інша ситуація в мікросвіті. Дійсно, вільна частинка, яка рухається вздовж осі х, описується плоскою монохроматичною   хвилею де Бройля (7.15), де  . І тому її положення повністю невизначене, тобто  . З іншого боку, імпульс такої частинки   строго визначений і  . А отже, добуток   є математично невизначеним  .

В мікросвіті можна змоделювати об’єкти (наприклад, хвильовий пакет), для яких координата точно визначена  , але імпульс повністю невизначений  , і тому має місце математична невизначеність типу   

Для того, щоб дещо прояснити цю ситуацію, розглянемо наступний умовний експеримент (рис. 7.5). 

Нехай мікрочастинки, що рухаються вздовж осі х, пролітають через щілину шириною а в непрозорому екрані (1) і фіксуються на екрані спостереження (2). Після проходження щілини розподіл мікрочастинок вздовж осі у повинен відтворювати розподіл інтенсивності в дифракційній картині (3): центральні і бічні максимуми розділені мінімумами. До щілини невизначеності координати та імпульсу:  ,  . В момент проходження щілини:  ,  . Якщо розглядати лише мікрочастинки, які попадають в центральний максимум, що обмежений першими мінімумами, то  , і тому  . Добуток невизначеностей:

 .

На підставі аналізу подібних умовних експериментів Гейзенберг (1927р.) встановив співвідношення між невизначеностями координат і відповідних імпульсів у вигляді

 . (7.18)

Інтерпретацію цих співвідношень дав Н. Бор у вигляді принципу доповнюваності:

1) інформація про стан мікрочастинок може бути отримана лише за допомогою макроприладів, які взаємодіють з мікрочастинками;

2) за допомогою конкретного макроприладу можна встановити точне значення або координати, або імпульсу; при цьому чим точніше задана одна характеристика, тим невизначеніша інша. 

Стосовно електрона в атомі співвідношення Гейзенберга означають, що поняття орбіти втрачає зміст. Дійсно, якщо невизначеність швидкості електрона  , то невизначеність координати  , що співмірно з розміром атома. Таким чином, електрон “розмазаний” по всьому об’ємі атома. В цей же час співвідношення невизначеності не накладають суттєвих обмежень на класичний опис стану макротіл. Дійсно, оскільки  , то  , навіть при  .

Пара “координата-імпульс” у співвідношенні (7.18) не є випадковою, оскільки вона входить як добуток в рівняння плоскої хвилі де Бройля (7.15), записане у вигляді

 . (7.19)

І тому слід очікувати, що і для іншої пари “енергія-час” матиме місце співвідношення невизначеності

 , (7.20)

де   має зміст тривалості перебування (часу життя) мікрочастинки в певному стані. Зокрема, для основного стану електрона у воднеподібному атомі   і тому  , тобто енергетичний рівень основного стану нерозмитий. Для збуджених станів   і  . За рахунок цього спектральні лінії випромінювання не є строго монохроматичними.

 

 

7.3.1. Корпускулярно-хвильовий дуалізм матерії встановлює межі застосування класичної фізики. В мікросвіті класичний спосіб опису стану частинок за допомогою координат та імпульсів перестає бути однозначним і повинен бути замінений іншим – статистичним способом, на якому грунтується механіка мікросвіту – квантова механіка.

Стан мікрочастинок в квантовій механіці задається хвильовою функцією  . Зокрема, для вільної одновимірної частинки хвильовою функцією є плоска хвиля де Бройля (7.19), яку представимо тут у комплексній формі:

 , (7.21)

де  . Помноживши   на комплексно спряжену функцію  , отримаємо

 . (7.22)

З точки зору хвильових уявлень квадрат амплітуди хвилі визначає її інтенсивність, зокрема, інтенсивність дифракційних максимумів на рис. 7.5. З точки зору корпускулярних уявлень – це імовірність попасти мікрочастинці в ту чи іншу точку екрану спостереження після проходження щілини. Отже, фізичний зміст має не сама хвильова функція, а вираз  , який називається густиною імовірності. Для частинок, які не є вільними, а перебувають в силових полях, хвильова функція не може розглядатися як просторова хвиля, але її ймовірнісна інтерпретація залишається в силі. Зокрема, імовірність знайти мікрочастинку в деякій області простору, наприклад, в елементарному об’ємі  , становить

 . (7.23)

Оскільки імовірність повинна бути однозначною, неперервною і скінченою, то на хвильову функцію накладаються наступні стандартні вимоги:

1) вона повинна бути однозначною, неперервною і скінченою;

2) перші похідні по координатах і часу від хвильової функції також повинні бути неперервними, що забезпечить “гладкість” імовірності;

3) вона повинна бути інтегрованою; зокрема,  , як імовірність знайти частинку в будь-якій точці простору V (імовірність вірогідної події).

Знання хвильової функції дозволяє встановити середнє значення