Загальна фізика. Частина 2. Магнетизм. Коливання і хвилі. Оптика. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла. Фізика ядра та елементарних часток

 . (7.24)

Для знаходження хвильової функції конкретного квантовомеханічного об’єкту необхідно розв’язати рівняння Шредінгера (1926 р.)

 , (7.25)

яке є аналогом ІІ закону Ньютона класичної механіки. В цьому рівнянні

  – (7.26)

оператор Гамільтона або оператор повної енергії частинки, де m – маса частинки,   – оператор Лапласа

 , (7.27)

U – оператор потенціальної енергії, дія якого зводиться до простого множення на хвильову функцію.

Якщо потенціальна енергія частинки явно не залежить від часу, тобто  , то квантовомеханічна задача називається стаціонарною, і у хвильовій функції можливе розділення змінних, тобто

 . (7.28)

Підставляючи (7.28) у (7.25), після нескладних перетворень отримаємо

 , (7.29)

 , (7.30)

де с і Е – константи інтегрування, при цьому Е має зміст енергії частинки.

Рівняння (7.30) називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Розв’язок цього диференціального рівняння задовільняє стандартні вимоги до хвильової функції, як правило, не при усяких, а дискретних (дозволених) значеннях параметра Е. Ці значення називаються власними значеннями оператора  , а відповідні хвильові функції   – власними функціями цього оператора. 

Отже, розв’язок рівняння Шредінгера (7.30) зводиться до знаходження власних значень і власних функцій оператора повної енергії частинки  . При цьому дискретність (квантування) енергії не вимагає додаткових штучних припущень типу постулатів Бора (§ 7.1), а витікає з математичних властивостей самого рівняння Шредінгера. Фізична ж суть цього рівняння полягає у виборі аналітичної форми потенціальної енергії U, тобто у виборі моделі квантомеханічного об’єкту.

7.3.3. Для вільної (U=0) частинки, що рухається вздовж осі х, стаціонарне рівняння Шредінгера має вигляд

 .

Розв’язок цього рівняння шукається у вигляді

 ,

що легко перевірити підстановкою в рівняння Шредінгера.

Повна хвильова функція, з врахуванням (7.28) і (7.29),

 

співпадає з виразом для плоскої хвилі де Бройля (7.19), якщо покласти, що  . Остання рівність є очевидною, оскільки повна енергія частинки співпадає з її кінетичною енергією 

 . (7.31)

 

 

7.4.1. Усякий зв’язаний стан частинки (вільний електрон в металі, нуклон в ядрі тощо), тобто стан з від’ємною потенціальною енергією, можна описати, ввівши поняття потенціальної ями. Розглянемо найпростіший випадок, коли частинка масою m перебуває в одновимірній прямокутній нескінченно глибокій потенціальній ямі шириною l. Оскільки початок відліку потенціальної енергії можна вибирати довільно, то задачу про “яму” замінимо задачею про “ящик”, на дні якого потенціальна енергія дорівнює нулю, а стінки якого нескінченно високі (рис. 7.6). Оператор Гамільтона  (7.26) для цього випадку має вигляд

 ,

де  

Всередині ящика рівняння Шредінгера (7.30) запишеться як

 

або

 . (7.32)

Введемо позначення

 , (7.33)

де k має зміст хвильового числа, якщо врахувати (7.31). Тоді (7.32) набуде форми, подібної (формально) до диференціального рівняння власних гармонічних коливань,

 .

Розв’язок цього рівняння шукаємо у вигляді гармонічної функції координати х:

 . (7.34)

Оскільки хвильова функція повинна бути неперервною, в тому числі і на стінках ями, а вийти за межі ями частинка не може, то  . Перша гранична умова дає  , і тому

 . (7.35)

Друга гранична умова дає

 , (7.36)

де n = 1, 2, 3, … – квантове число стану частинки.

Врахувавши, що  , отримаємо з (7.36) співвідношення  , тобто в межах ширини ями повинно вкладатись ціле число півхвиль де Бройля.

Формальну амплітуду А в (7.35) знайдено з умови нормування хвильової функції до одиниці:

 .

Звідси  , і остаточно хвильова функція частинки в довільному квантовому стані n, з врахуванням (7.36), набуває вигляду

 . (7.37)

Об’єднуючи (7.33) і (7.36), отримаємо вираз для енергії частинки в різних квантових станах 

 . (7.38)

Отже, енергія частинки в потенціальній ямі приймає не довільні, а дискретні значення Е1, Е2, Е3, …, зображені на рис. 7.6 відповідними енергетичними рівнями. Густина імовірності  (на рисунку – штрихові лінії) залежить від координати частинки, при цьому по різному в кожному квантовому стані. Наприклад, для центру ями вона максимальна в стані n = 1 і дорівнює нулю в стані n = 2.

Відстань між сусідніми енергетичними рівнями

 . (7.39)

Розглядаючи електрон в атомі як такий, що перебуває в потенціальній ямі шириною  , отримаємо  , що співмірно з енергією електрона. В цей же час в макросвіті, коли m i l – дуже великі, відстань між енергетичними рівнями стає зникаюче малою, і квантуванням енергії можна знехтувати. 

Задача про частинку в потенціальній ямі скінченної глибини розв’язується значно складніше, але висновок про квантування енергії і в цьому випадку залишається в силі.

7.4.2. Спорідненою до описаної є задача про проходження частинки через потенціальний бар’єр. Нехай мікрочастинка з масою m і енергією Е налітає на одновимірний прямокутний потенціальний бар’єр шириною l і висотою U0 (рис. 7.7). Якщо частинка класична, то вона пролітає над бар’єром, коли Е > U0, і відбивається від