Загальна фізика. Частина 2. Магнетизм. Коливання і хвилі. Оптика. Елементи атомної фізики, квантової механіки і фізики твердого тіла. Фізика ядра та елементарних часток

Енергія вільного електрона 

 , (7.89)

де р – імпульс електрона. 

В багатьох випадках для опису енергії електронів в металах і напівпровідниках можна користуватись цією ж формулою, але ввівши замість маси спокою електрона m0 ефективну масу mn*, яка може бути як більшою, так і меншою m0, і яка враховує взаємодію зонних електронів з полем кристалічної гратки. Аналогічно вводиться і ефективна маса зонних дірок mp*. І тому енергії електронів і дірок виражаються через їх імпульси наступним чином

  (7.90)

де відлік енергії ведеться від краю відповідної зони: вверх від Ес для електронів і вниз від Еv для дірок. Співвідношення (7.90) називаються законами дисперсії для зонних носіїв струму.

§ 7.14.2. Розподіл частинок з напівцілим спіном (ферміонів), в т.ч. і електронів, за енергіями описується квантовою функцією розподілу Фермі-Дірака

 , (7.91)

де f(E) – імовірність перебувати електрону на рівні з енергією Е, а F – енергія (рівень) Фермі. Зміст останньої зрозумілий з аналізу f(F) при Т = 0. Якщо Е > F, то f (Е) = 0, тобто рівень порожній; якщо Е < F, то f (F) =1, тобто рівень заповнений. Отже, енергія Фермі відповідає найвищому рівню, який ще заповнений при Т = 0 (рис. 7.30). При Т > 0 f(F) = 1/2, якщо Е=F, тобто енергія Фермі відповідає рівню, який при ненульовій температурі заповнений наполовину (рис. 7.30).

При певних умовах, а саме, коли Е - F >> k0Т, квантовий розподіл Фермі-Дірака переходить в класичний розподіл Максвелла-Больцмана 

 . (7.92)

Електронний газ, що описується таким розподілом, називається невиродженим газом. В цей же час електронний газ, що описується розподілом Фермі-Дірака, називається виродженим. Критерієм виродження є нерівність

 , (7.93)

тобто виродження має місце при високій концентрації електронів, малій їх ефективній масі та низьких температурах. В металах електронний газ завжди вироджений (n  1022 см-3), в напівпровідниках, як правило, невироджений (n < 1018 см-3).

В металах при низьких температурах концентрація електронів зони провідності, енергія яких лежить в інтервалі  , складає

 

де dg(E) – кількість енергетичних рівнів у вказаному інтервалі. Якщо справедливий параболічний закон дисперсії (7.90), то нескладний розрахунок дає

 .

Тоді повна концентрація носіїв в с-зоні металу при низьких температурах

  (7.94)

і від температури не залежить. Енергія Фермі

 ,

що дає   при  . Середня енергія зонних електронів в металах  , що значно більше від k0Т.

А це означає, що лише незначна кількість електронів, що перебувають на рівнях, близьких до рівня Фермі, може змінити свою енергію при зміні температури. Таким чином, електронний газ в металах практично не вносить вкладу в теплоємність кристалу (див. § 7.13), незважаючи на високу загальну концентрацію електронів.

В напівпровідниках рівень Фермі, як правило, лежить в забороненій зоні (рис.7.29), і тому при розрахунку концентрації невироджених електронів в зоні провідності потрібно врахувати, що функція розподілу (7.92) в усьому діапазоні енергій Е > Ec менша від одиниці і залежить від температури. І тому

 , (7.95)

де Аn – множник, який слабо залежить від температури і визначається ефективною масою носіїв, а Еg – ширина забороненої зони.

Як слідує з (7.95), з ростом температури концентрація зонних (вільних) електронів збільшується за експоненційним законом. Ця формула справедлива лише для бездомішкового, т.з. власного, напівпровідника. Зрозуміло (див. рис. 7.29), що концентрація дірок у валентній зоні дорівнює концентрації електронів в зоні провідності: n = p = ni – власна концентрація носіїв струму. 

Ситуація радикально змінюється, коли в напівпровідник ввести домішки. Зокрема, коли вводяться донорні домішки, тобто домішки, які легко віддають електрони в С-зону, то n >> p; такий домішковий напівпровідник називається електронним (n-типу). Якщо ж вводяться акцепторні домішки, тобто домішки, які легко захоплюють електрони з V-зони, то p >> n; такий домішковий напівпровідник називається дірковим (р-типу). В класичних напівпровідниках Ge i Si в ролі донорних домішок виступають As, P, а акцепторних – Ga, Іn.

Оскільки енергія іонізації донорів та акцепторів значно менша від ширини забороненої зони, то енергетичні рівні цих домішок розміщені в забороненій зоні на відстані енергії іонізації (Д, А) від дна зони провідності чи вершини валентної зони, відповідно (рис. 7.31). При низьких температурах, коли іонізація домішок є слабкою, а власна генерація носіїв – несуттєва, концентрація носіїв в зонах запишеться:

для n-типу: , (7.96)

для p-типу: , (7.97)

де Bn і Bp – множники, які слабо залежать від температури, а визначаються концентрацією відповідних домішок і ефективною масою носіїв струму. Отже, і в цьому випадку концентрація носіїв збільшується експонеційно з ростом температури кристалу. Відмітимо, що рівень