Елементи математичної статистики

 ,

 

де t – вибирається із таблиць розподілу Лапласа або Стюдента залежить від надійної ймовірності p та кількості вимірів n.

5. Середня квадратична похибка визначається достатньо надійно при обмеженій кількості вимірів.

4. Числові характеристики нерівноточних вимірів

В практиці геодезичних вимірювань може відчутно порушуватися "комплекс умов": виміри виконують приладами різної точності або різними методами, значно змінюються зовнішні умови (температура, вологість тощо) чи інші чинники. Тоді дисперсії таких вимірів значно відрізняються між собою ( ) і їх називають нерівноточиними. Нерівноточні виміри можна виразити статистичним рядом

 

 ,

  ( )

 

Задача виникає, коли за результатами нерівноточних вимірів однієї і тієї величини необхідно визначити найбільш надійне значення виміряної величини і виконати оцінку точності вимірів за допомогою числових характеристик.

В теорії похибок вимірів до числових характеристик нерівноточних вимірів відноситься:

1. Вага вимірів. Розглянемо статистичний ряд нерівноточних вимірів, який будемо характеризувати емпіричними дисперсіями  

 

 ,

  )

 

Введемо величини   —  , обернено пропорційні квадратам середніх квадратичних похибок (емпіричних дисперсій )  і позначимо

 

де  С - постійний умовно прийнятий коефіцієнт такої величини, щоб значення ваги рі було ближче до одиниці.

Величину рі називають вагами нерівноточних вимірів. Тоді нерівноточні виміри можна характеризувати статистичним рядом

 

 ,

  )

 

Якщо дисперсія є мірою абсолютної точності результату, то вага є мірою відносної точності.

Вага вказує наскільки точність одного виміру більш або менш точна відносно іншого в ряду вимірів.

Практично в більшості випадків невідома дисперсія   або середня квадратична  похибка  вимірів   m.   Ваги   вимірів   обчислюють   за наближеними формулами

 ;

 ;

 ,

 

де Li – довжина лінії, ходу або полігону;

Ni – кількість виміряних величин;

ni – кількість вимірів однієї і тієї величини (число прийомів).

Аналогічно коефіцієнт С вибирають так, щоб ваги pi за величиною були близькі до одиниці для зручності обчислень.

В практичних розрахунках часто використовують приведені ваги

 

 ,

де  , тоді  

 

Ряд нерівноточних вимірів можна звести до рівноточного, якщо кожен вимір помножити на величину  . Статистичний ряд

 

   ...,    - буде рівноточним.

 

2. Загальне середнє арифметичне

Припустимо, що в результаті вимірів однієї величини отримано статистичний ряд нерівноточних результатів

 

  ( )

 

Найкращі оцінки отримують тоді, коли виміри х1, або їх похибки  , підкоряються нормальному закону розподілу. Перейдемо до нормованих похибок

 

 ; ;  

 

де X- істинне значення вимірюваної величини.

Функція щільності нормованого нормального закону розподілу визначається за формулою

 

Числові характеристики визначаються за результатами всіх вимірів. Тоді функція щільності сумісного розподілу ряду випадкових величин   буде

 

Найбільш надійне значення шуканого параметра t для нерівноточних вимірів    буде    відповідати    максимальному    значенню    функції  . Із формули видно, що це відбудеться за умови, коли показник степеня буде мінімальним, тобто

 

З врахуванням попередньої формули отримаємо

 

Для визначення екстремуму функції візьмемо першу похідну за перемінними х1, прирівняємо до нуля і отримаємо

 

Умовно помножимо їх на довільне число С, отримаємо

 

Оскільки  , то отримаємо

 

Ймовірно  

 

Це означає, що частка   при необмеженій кількості вимірів прямує до істинного значення. Його називають загальним середнім арифметичним

 

або  

В разі рівноточних вимірів  . Тоді формула   зводиться до простої арифметичної середини  , тому цю формулу і називають загальною середньою арифметичною.

 

 

Нерівноточні виміри характеризують дисперсіями   або мірою відносної точності pi. Умовно із ряду нерівноточних вимірів виберемо результат такого виміру xk, вага якого буде дорівнювати одиниці, тобто  . Дисперсію цього результату позначимо через   . Тоді

 

 ,

 

або  середня квадратична похибка одиниці ваги буде дорівнювати: 

  . Оскільки   то  , або

 

Тоді середня квадратична похибка будь-якого виміру визначиться за формулою

 

При р = 1,   - тобто середня квадратична похибка одиниці ваги є мірою точності того результату виміру, вага якого дорівнює одиниці.

 Визначимо середню квадратичну похибку одиниці ваги: 

а) при заданому істинному значенні виміряної величини

В результаті нерівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини X отримано статистичний ряд

 

де   — істинні похибки нерівноточних вимірів,    - вага вимірів.

Зведемо ряд нерівноточних похибок вимірів до рівноточного ряду

 

 ,  …,          (i = l,n)

 

Оскільки ряд даний є рівноточним і підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Гаусса можна визначити середню квадратичну похибку m вимірів. Для виміру вага якого дорівнює одиниці р = 1. Це буде середня квадратична похибка одиниці ваги  , або

 

 , або

 .

 

б) при обчисленому загальному середньому арифметичному

 

 ,       (i = l,n)

 

де   — загальне середнє арифметичне;

X - істинне значення вимірюваної величини. 

Зробимо перетворення

Тобто, при нерівноточних вимірах і наявності істинних похибок  , систематична похибка  , визначиться за формулою

 

Для спрощення доказів складемо ряд ймовірних похибок

 

 ,       (i = l,n)

Оскільки     , то

 

З формули ряд імовірних похибок теж є нерівноточним. Як і в попередньому випадку зведемо їх до рівноточного вигляду

 

 ,  ...,  , (i = l,n)

 

Оскільки ряд є рівноточним і за умовами підкоряється нормальному закону розподілу, то за формулою Бесселя визначимо середню квадратичну похибку m. Для виміру, вага якого буде дорівнювати одиниці (р = 1) вона буде дорівнювати середній квадратичній похибці одиниці ваги, тобто  

 

  або

 

4. Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного

 

Формулу загального   середньоарифметичного отримаємо у вигляді

 

Дисперсія функції F (х) при отримаємо  , отримаємо

 

 Середня квадратична похибка загального середнього арифметичного при нерівноточних вимірах визначиться за формулою

 

Додатково обчислюють:

5. Середню квадратичну похибку середньої квадратичної похибки одиниці ваги

 

 .

 

6. Середню   квадратичну    похибку   середньої   квадратичної похибки загального середнього арифметичного