Елементи математичної статистики

Її позначають  або (х). Зміст функції щільності розподілу  (х) полягає в тому, що вона вказує, як часто з'являється випадкова величина X навколо точки х при повторенні дослідів.

Функція щільності розподілу має властивості:

1. Щільність розподілу невід'ємна, тобто  

2. Функція розподілу випадкової величини дорівнює інтегралу від функції щільності в інтервалі від -   до х  

 

3. Ймовірність попадання неперервної випадкової величини X на відрізку ( ) дорівнює  інтегралу  від функції щільності розподілу, взятому за кінцевими значеннями цього відрізка

 

Геометричний зміст цього результату полягає в тому, що ймовірність появи випадкової величини в інтервалі від   до   дорівнює площі криволінійної трапеції.

4. Інтеграл в нескінченних межах від -   до +   дорівнює одиниці

 

Ймовірність попадання випадкової величини X на елементарний інтервал dx з точністю до нескінченно малих вищого порядку чим  х дорівнює  (х) dх, (так як  ). Геометричний зміст цього виявляється в тому, що це є площа елементарного прямокутника з висотою  (х) і основою dх. Величина   називається елементом імовірності.

 

 

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину з точки зору ймовірності її появи в будь-якому інтервалі числової осі 0х. Разом з тим при вирішенні великої кількості практичних задач достатньо знати тільки деякі характерні риси закону розподілу. В теорії ймовірностей їх називають числовими характеристиками випадкової величини X. Вони в досить стислому вигляді характеризують той чи інший закон розподілу.

Властивості випадкової величини X характеризують параметри: математичне сподівання, мода, медіана, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та стандарт. Більш узагальненими основними характеристиками випадкових величин є моменти випадкової величини.

1) Математичне сподівання

Якщо дискретна випадкова величина X володіє можливими значеннями х1, Х2,..., хn з імовірностями p1,p2, pn то математичне сподівання випадкової величини X визначається за формулою

 

де   , так як поява однієї із можливих подій є достовірна подія.

Якщо випадкова величина X має нескінченне число можливих значень, то

 

Математичним сподіванням випадкової величини X називається сума добутку всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать відрізку [а, в], називають визначений інтеграл  

а де  (х) - щільність імовірності розподілу випадкової величини.

Математичне сподівання має ту ж розмірність, що і випадкова величина, та має властивості:

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює величині постійної, тобто М(С) = С.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання М(СХ) = СМХ.

3. Математичне    сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань M (x+y+…+k) = Mx + My + … + Mk

 

 

Математичне сподівання може бути як додатнім, так і від'ємним.

Відомо, що для повної групи подій  . 

Таким чином, виявляється механічна інтерпретація математичного сподівання. Воно буде абсцисою центру тяжіння системи матеріальних точок.

Якщо ймовірності появи випадкових величин xі   тобто 

 

де X - середнє арифметичне значення випадкової величини.

Це означає, що математичне сподівання приблизно дорівнює середньому арифметичному значенню випадкової величини. Воно буде тим точніше, чим більше буде проведено дослідів. 

2) Мода і медіана випадкової величини

Модою Мо дискретної випадкової величини називають таке її значення, що має найбільшу ймовірність.

Практично, якщо маємо дискретний ряд розподілу, то знаходимо таке k-е значення випадкової величини х, що має найбільшу величину ймовірності Pn(k).

Для неперервної випадкової величини модою буде таке її значення, що має максимум щільності розподілу, тобто  (Мо) = mах. 

Якщо многокутник розподілу або крива розподілу має два або більше максимумів, то такий розподіл називають двохмодальним чи багатомодальним.

Медіаною Ме випадкової величини X називають таке її значення, відносно якого ймовірність появи як більшого, так і меншого значення випадкової величини X має приблизно однакову ймовірність, тобто

Геометрична медіана - це абсциса точки, де площа кривої розподілу розділяється наполовину. Тоді функція розподілу в точці Ме дорівнює математичне сподівання, мода і медіана збігаються, тобто

3) Дисперсія і середнє квадратичне відхилення

Очевидно, що величину розсіювання для кожної випадкової величини від математичного сподівання можна обчислити, тобто  

Величину   називають центрованою випадковою величиною. Так як імовірність появи центрованих випадкових величин X справа і зліва від Мх однакова, то її математичне сподівання дорівнює нулю і не може характеризувати розсіювання її значень. Тому якістю міри розсіювання X беруть математичне сподівання від квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання і називають його дисперсією.

Дисперсією випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання, тобто

Для дискретної випадкової величини дисперсія матиме вигляд суми

для неперервної це буде інтеграл

Дисперсія має розмірність квадрата розмірності випадкової величини, що не зовсім зручно. Тому для характеристики міри розсіювання випадкової