Елементи математичної статистики

Для визначення ваги функції в теорії похибок вимірів користуються правилом:

1. Визначають дисперсію функції.

2. Дисперсії всіх перемінних        ..., і т. д. замінюють на обернені ваги відповідно

 

 , …, і т. д.

 

Зазначимо, що вага однієї функції не дає уявлення про точність функції. Її можна використати у порівнянні з вагами функції однорідних фізичних величин. Вага функцій визначає відносно більшу або меншу точність однієї функції порівняно з іншою.

Вага системи функції

Якщо маємо систему функцій

 

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

 

Вага системи функції для незалежних аргументів визначається за формулою:

 

a11   a12   …   ain

        a21   a22   …   a2n

  A = …   … …    …

am1  am2 … amn

 

де       Кх – кореляційна матриця аргументів хі;    - дисперсія одиниці ваги;     - обернені ваги аргументів.

 

Після перемноження матриць отримаємо:

 

     К12    К13...    К1m

   = K21       К23...   К2m

…     …     …      …

Km1   Km2   Km3    

 

де   - обернені ваги функції уі;

Kij – кореляційні моменти, які характеризують зв’язок між вагами функцій.

Коєфіцієнти кореляції між функціями визначаються за формулою:

 

Випадкові події якісно характеризують випадковий результат проведеного досліду. Разом з тим випадковий результат можна характеризувати і кількісно.

Випадковою величиною називають таку величину, яка в результаті досліду може набути будь-якого довільного значення до того заздалегідь невідомо якого саме.

Поняття випадкової величини є одним із важливих понять теорії ймовірностей. Позначимо випадкові величини великими буквами латинського алфавіту - X, У, ..., а їх можливі значення позначимо відповідними малими буквами х,у,... .

Випадкові величини в практичній діяльності можуть бути дискретні та неперервні.

Дискретною     (перервною)     випадковою     величиною називають таку величину, яка може приймати окремі кінцеві значення або їх нескінченну кількість (безліч, елементи якої можуть бути занумеровані).

Приклади дискретних випадкових величин:

1. Кількість правильних вимірів кута при 10 прийомах. 

2. Число бракованих приладів в партії із n штук.

Неперервною випадковою величиною називають таку величину, можливі значення якої повністю заповняють деякий інтервал (кінцевий або нескінченний) числової осі. Таким чином і число можливих значень неперервної випадкової величини буде нескінченним.

Приклади неперервних випадкових величин:

1. Помилка виміру довжини лінії, чи величини кута.

2. Графік рівня води в річці, отриманий за допомогою реєстраційного автоматичного приладу

 

Цілком зрозуміло, що при випробуваннях окремі значення випадкових величин помітно відрізняються одне від одного і на перший погляд вони не здаються неперервними. Але треба усвідомити, що ці значення не можна перечислити заздалегідь і мова йде про ті значення, які можна прийняти в результаті досліду. Появу того чи іншого значення не можна заздалегідь задати точно, але можна шукати ймовірності того чи іншого значення випадкової величини. Це означає, що випадкова величина володіє ймовірністю її появи. Тому в практичній діяльності зручніше користуватися дискретними випадковими величинами ніж неперервними випадковими величинами.

2. Закон розподілу ймовірностей випадкових величин

В результаті досліду неперервна випадкова величина X приймає одне із своїх можливих значень. Тобто з'явиться одна подія із повної групи несумісних подій: X = х1, X = Х2, ..., X — хn. Кожне із цих значень володіє ймовірністю появи, або

 

 ,  , ...  

 

Так як всі можливі події утворюють повну групу несумісних подій, то сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини X дорівнює одиниці

 

Цілком зрозуміло, що випадкова величина буде повністю визначена, якщо вказати ймовірність кожної із подій.

Законом розподілу випадкової величини називають всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини і відповідними ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини задають:

1) аналітично;

2) чисельно у вигляді таблиці;

3) графічно.

Аналітично закон розподілу для дискретних випадкових величин задають за допомогою формул розподілу ймовірностей при повторних випробуваннях. Ймовірність появи k-ої події при n - випробуваннях розраховують за формулою. 

Найбільш просто закон розподілу дискретної випадкової величини X відображають у вигляді таблиці, яку називають рядом розподілу випадкової величини.

Наочно ряд розподілу відображають графічно. Для цього можливі значення випадкової величини Х1 відкладають по осі абсцис, а по осі ординат - відповідні їм імовірності Р. Отримані вершини ординат з'єднують відрізками прямих ліній. Такий рисунок називають багатокутником розподілу.

Слід пам'ятати, що з'єднання вершин ординат проводиться тільки для більш наочного відображення. При