Елементи математичної статистики

3. Числові характеристики системи двох випадкових величин. Кореляційний момент, коефіцієнт кореляції і рівняння регресії

Найбільш повними ймовірними характеристиками системи двох випадкових величин є закон розподілу. Однак в практичній діяльності не завжди є можливість визначити його. Тому при дослідженнях систему двох випадкових величин характеризують їх числовими характеристиками: початковими та центральними моментами.

Початковим моментом   порядку  s, q системи (X, У) називається математичне сподівання від добутка Xs   на  Y9.

Для системи дискретних випадкових величин

Між випадковими величинами X і У може виникати зв'язок. Кореляційний момент Х і Y характеризує силу або щільність зв'язку. Відомо, якщо між випадковими величинами існує ймовірний зв'язок (залежність), то зі зміною випадкової величини X змінюється закон розподілу випадкової величини У. В той же час закон розподілу задають кривою розподілу у = . Характер кривих може бути різним, тому і відрізняють декілька типів імовірної залежності. Одним із найбільш розповсюджених типів є кореляційна залежність, за якої заміна аргументу х призводить до зміни математичного сподівання величини у. В першому випадку ми маємо прямолінійну кореляцію. При дослідженнях можуть виникнути й інші типи кореляційної залежності.

Кореляційну залежність часто називають кореляцією. Кореляційний момент має розмірність, яка залежить від розмірності випадкових величин X і У. Тому для оцінки сили зв'язку між випадковими величинами системи (X, У) використовують не коефіцієнт зв'язку Кху, а безрозмірне відношення

 ,

яке називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин Х і У. Коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто  

Якщо r > 0, то маємо позитивну кореляцію, тобто із збільшенням абсциси х, збільшується величина ординати у і навпаки при r < 0 .

Якщо випадкові величини X і Y незалежні, то кореляційний момент і коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, тобто Кху = 0 і rxy = 0.

Дві корельовані випадкові величини завжди є взаємозалежними, але дві залежні величини не завжди є корельованими. Прикладом цього може бути система випадкових величин (X, Y) рівномірно розподілена в межах кола з центром на початку координат. Розрахунки показують, що величини X і У залежні, а кореляційний момент Кxу = 0, а це означає, що і rxy = 0.

Випадкові величини X і У називають корельованими, якщо   i при   - некорельованими.

  

 

Математична статистика - дисципліна, яка займається регістрацією, збором, описом і аналізом експериментальних даних з метою вивчення закономірностей масових випадкових явищ.

Таким чином, всі задачі математичної статистики зводяться до визначення методів обробки результатів експериментальних досліджень (спостережень) масових випадкових явищ.

Найбільш типовими задачами математичної статистики є:

1. Оцінка невідомої функції розподілу за результатами вимірів. Якщо за результатами досліджень випадкової величини X одержано значення x1, x2, … xn то необхідно приблизно оцінити невідому функцію розподілу Р(х).

2. Оцінка точності невідомих параметрів розподілу. При вирішенні цього питання обчислюють параметри функції розподілу випадкової величини на основі отриманих результатів експерименту і оцінюють їх значення.

3. Статистична   перевірка   гіпотез.   Якщо   за   результатами експерименту визначено функцію розподілу Р(х)    випадкової величини X, то вирішується питання: чи дійсно випадкова величина X має розподіл Р(х) ?

При дослідженнях випадкових явищ виконують досить велику кількість випробувань (експериментів) - N.

Генеральна сукупність - це сукупність значень результатів досліджень (вимірів). Досить часто мають на увазі, що число N може бути нескінченним.

Проте практично виконати нескінченну кількість дослідів (вимірів) або обстежити нескінченну кількість виробів неможливо, і економічно невигідно. В цьому випадку із всієї генеральної сукупності відбирають обмежене число результатів експерименту.

Вибірковою сукупністю або просто вибіркою називають сукупність випадково вибраних результатів чи об'єктів.

Проте вибірка може як досить точно характеризувати досліджуване випадкове явище, так і ні.

Представницькою   або   презентабельною   вибірковою називають об'єм вибірки n із генеральної сукупності N, який дозволяє повною мірою визначити характеристики генеральної сукупності. Інформація буде більш імовірною, коли результати досліджень, що складають вибірку, будуть незалежними.

 

 

Практично, до початку досліджень випадкового явища, заздалегідь невідомо, якому закону розподілу будуть підпорядковуватися результати експерименту. Для його визначення над випадковою величиною X виконують низку незалежних експериментів (вимірів). 

Статистична таблиця є початковою формою запису статистичного матеріалу, який може оброблятися різними методами.

Однак при великій кількості експериментів (вимірів) їх результати практично неможливо показати в статистичній таблиці. Тоді результати спостережень розділяють на групи. Кожна група містить деяку кількість (частоту) результатів, що належать визначеному інтервалу. Довжина інтервалу розраховується за формулою Г.А.Стерджеса

 

де n - кількість результатів спостережень.

Можна задати число інтервалів k. Тоді довжину інтервалу визначають за формулою

 

Значення інтервалу l заокруглюють до зручного цілого значення так, щоб число їх було в межах  .

 

Потім визначають граничні значення інтервалів