Елементи математичної статистики

Немає сумніву, що ряд розподілу чи багатокутник розподілу можна подати для дискретної випадкової величини з кінцевим числом можливих значень. Однак ряд розподілу не можна побудувати для неперервної випадкової величини, що має незчисленну безліч можливих значень, які суцільно заповнюють деякий відрізок. Перелічити таку безліч значень випадкової величини практично неможливо. Проте, треба мати таку характеристику   розподілу ймовірностей, яка б відображала як дискретні, так і неперервні випадкові величини. Нею є функція розподілу.

Функцією розподілу або інтегральним законом розподілу випадкової величини X називається задання ймовірності події виконання нерівності X < х, де х - деяка поточна змінна, її розглядають як функцію аргументу х і визначають за формулою

 

F(x) = P(X<x)

 

Функцію розподілу F(х) називають інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу. Вона має досить просту геометричну інтерпретацію. Розглянемо випадкову величину, як випадкову точку X осі ОХ, що в результаті випробування може прийняти те чи інше положення. Тоді функція розподілу F(х) є ймовірністю того, що випадкова точка X в результаті випробування попаде зліва від точки х.

Функція дискретної випадкової величини X, що може приймати значення Х1,Х2, ... , xn буде мати вигляд

 

При цьому додавання ймовірностей розповсюджується на всі можливі значення випадкової-величини, які за своєю величиною менші аргументу х. Це означає, що функція розподілу дискретної випадкової величини X розривна і зростає стрибками при переході через точки можливих її значень Х1, Х2, ... , хn.

Оскільки функція розподілу дискретної випадкової величини виглядає як сходинкова ламана лінія, тому її називають сходинковим графіком.

 Якщо випадкова величина неперервна, то вона має ймовірність в кожній точці осі х. Згідно з формулою функція розподілу буде зростати поступово, тому що можливі значення випадкової величини неперервно заповнюють будь-який інтервал на осі х. Тоді графік виглядатиме як монотонне зростаюча функція розподілу F(х) на інтервалі від а до b.

 Функція розподілу має властивості:

1. Функція розподілу F(х) є зростаючою і міститься між нулем та одиницею 0 < F(х) < 1.

Це випливає з того, що функція F(х) визначається як імовірність випадкової події X < х.

2. Ймовірність виникнення випадкової величини в інтервалі від   до   дорівнює різниці значень функції на кінцях інтервалу

 

Визначимо подію А того, що випадкова величина х <    та подію В для випадку х <  .

Подія С відображає те, що   < х <  . В цьому випадку подія В буде складатися із суми двох несумісних подій А і С, тобто В = А + С. Згідно з теоремою додавання ймовірностей маємо

 

P (B) = P(A) + P(C)

 

Якщо функція в точці   неперервна, то граничне значення дорівнює нулю. При розриві функції в точці (X її граничне значення буде дорівнювати значенню стрибка функції F (х).

З цього робимо висновок, що ймовірність випадкової величини в точці для неперервної функції дорівнює нулю. Це явище називають парадоксом теорії ймовірностей.

Проте нульова ймовірність події лише зазначає, що частота цієї події невпинно спадає при збільшенні числа дослідів, однак це не означає, що ця подія неможлива.

3. Функція розподілу випадкової величини є зростаючою функцією, тобто при   >  

 

Маємо  

 

Так   як   імовірність   будь-якої   події   є   додатне   число,   то  

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, а на плюс нескінченності - одиниці, тобто    

Це цілком вірно, так як при необмеженому переміщенні точки х вліво, попадання випадкової точки X лівіше х максимально стає неможливою подією і   = 0. В той же час при необмеженому переміщенні точки х вправо попадання випадкової точки X зліва від х практично стає достовірною подією, тоді   = 1.

За допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність випадкової величини в будь-якому інтервалі або в кожній точці можливих значень для дискретної випадкової величини. Тому функція розподілу однозначно визначає закон розподілу випадкової величини.

Більш наочно характер розподілу неперервної випадкової величини в невеликих інтервалах числової осі х дає функція щільності розподілу ймовірностей або диференціальний закон розподілу.

Якщо маємо функцію розподілу F(х) випадкової величини X, то ймовірність попадання її на елементарну ділянку (х, х +  х) згідно з попередньою формулою буде:

 

Знайдемо середню ймовірність, що припадає на одиницю довжини ділянки  х

 

Функцією щільності розподілу випадкової величини в точці х є граничне відношення ймовірності попадання її на елементарну ділянку від х до х  +  х до довжини цієї ділянки  х, коли