Світ симетрії

1. Графік непарної функції. Він симетричний відносно початку координат О. Це очевидно, бо кожній точці (х0, у0) графіка непарної функції (для додатних значень аргумента) відповідає точка (-х0, -у0) (для від’ємних значень аргумента). Тут має місце симетрія відносно центра О. Для побудови графіка непарної функції досить побудувати ту його частину, яка відповідає значенням аргумента  . Потім доповнити її другою, що являє собою геометричне місце точок, симетричних відносно початку координат. Для побудови точки (-х0, -у0) можна поступити так: спочатку побудувати точку (-х0, у0) – дзеркальне відбиття точки (х0, у0) відносно осі Оу, а потім точку (-х0, -у0) – дзеркальне відбиття точки (-х0, у0) відносно осі Ох (рис. 54).

Задача. Побудувати графік функції  х на інтервалі х є ( ).

Вказівка. Кожній точці М(х0, у0) знаходимо симетричну відносно початку координат О точку  (-х0, -у0). Точки   сполучаємо і отримаємо другу частину графіка, симетричну першій. Для неї  ,   (вона розташована у третьому координатному куті) (рис. 55). 

2. Графік парної функції (для неї  ). Він симетричний відносно осі ординат. Справді, кожній парі значень аргумента, що рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком, відповідають рівні значення ординат. Тому, будуючи графік парної функції, досить побудувати ту його частину, яка відповідає додатним значенням аргумента, а тоді її доповнити другою частиною, що являє собою геометричне місце точок, симетричних знайденим відносно осі ординат.

Задача. Побудувати графік функції  .

Розв’язання. Ця функція парна, бо  . Спочатку будуємо графік функції у = х для   (частина 1). Тоді добудовуємо частину ІІ як дзеркальне відбиття відносно осі Оу частини І (рис. 56). Тож, щоб із графіка функції   отримати графік функції  , треба ділянки, що лежать вище осі Ох, залишити без зміни, а ділянки, що лежать нижче осі Ох, відбити відносно цієї осі.

3. Графік функції  . Цей графік отримують із графіка функції   розтягом в   разів уздовж осі Оу (при   - стиском).

Задача. Побудувати графік функції  , де  0,5; 1,3; -0,5

Розв’язання. При одних тих самих значеннях х функції   у два рази менша від значення функції  . Тому для побудови графіка   досить зменшити всі ординати функцій   в два рази вздовж осі ординат (рис. 57). 

При  =3, гілки параболи у=х2 наближаються до осі ординат. Має місце видовження графіка функції в три рази.  

Таким чином можна отримати графік заданої функції, уникаючи числових обрахунків, які часто бувають досить складними.

4. Графік функції  . Його отримують із графіка функції   дзеркальним відбиттям відносно осі Ох. Це тому, що для тих самих значень аргумента знак функції   буде протилежним за знаком і рівним за модулем до функції  .

Задача. Побудувати графік функції  .

Вказівка. Будуємо графік функції  , тоді його дзеркально відбиваємо відносно осі Ох (рис. 58).

5. Графік функції  , де   – стала. Його отримують із графіка функції   зсувом вздовж осі ординат на + . При   - зсув угору вздовж осі Оу і при   - зсув униз на –  .

Задача. Побудувати графік функції  .

Відповідь. Побудова графічно представлена на рис. 59: графік функції   зсунуто вздовж осі Оу на +1.

6. Графік функції   знаходять з допомогою графіка простішої функції   паралельним перенесенням його вздовж осі Ох вліво на - . При   - перенесення здійснюють вправо на + .

Задача 1. Побудувати графік функції  .

Розв’язання. Для того щоб отримати однакові значення функцій  і  , треба аргументу функцій   надати значення на одну одиницю менше, ніж значення аргумента х функції  . Відтак, щоб отримати графік функції  , треба графік   перенести вздовж осі абсцис вліво на –1 (рис. 60). Або перенести вісь ординат на +1.

Задача 2. Як побудувати графік функції  , використавши властивості графіків парної функції і паралельне перенесення?

Розв’язання. Позаяк  , то спочатку графік функції   переносять вздовж осі Ох на –1, а тоді піднімають графік   на одиницю осі ординат.

7. Графік функції  . У цьому разі ті ділянки графіка функції  , що лежать вище осі Ох, залишають без зміни, а ділянки, що лежать нижче осі абсцис, відбивають відносно цієї осі.

Задача. Побудувати графік функції  .

Розв’язання. Позаяк  , якщо  , то графік функції   залишається той самий як у функції  . Якщо ж  , то   і графік функції   залишається без зміни (рис. 61), симетричний відносно осі Оy.

8. Графік оберненої функції. Функція, у якої змінні х і у помінялися своїми ролями, називається оберненою відносно першопочаткової функції. Пряма й обернена функції виражають одну ту ж саму залежність між величинами х і у. Відрізняються вони між собою лише тим, що у них помінялися ролями х і у, що рівнозначно зміні позначень осей координат. Тому графік оберненої функції знаходять із графіка прямої функції, якщо останній відбити відносно бісектриси першого і третього координатних кутів. Причому, якщо пряма функція зростає (спадає), то обернена функція